Lineare Algebra Beispiele

$3 x + 2 y = 8$ , $2 x + 3 y = 7$

Schritt 1

Löse in $3 x + 2 y = 8$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 8 - 2 y$

$2 x + 3 y = 7$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8 - 2 y$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8 - 2 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$2 x + 3 y = 7$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$2 x + 3 y = 7$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$2 x + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$2 x + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$2 x + 3 y = 7$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$2 x + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$2 x + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$2 x + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$2 x + 3 y = 7$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x + 3 y = 7$ durch $\frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}) + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}) + 3 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{8}{3}) + 2 (- \frac{2 y}{3}) + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $2 (\frac{8}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{8}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} + 2 (- \frac{2 y}{3}) + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16}{3} + 2 (- \frac{2 y}{3}) + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{16}{3} + 2 (- \frac{2 y}{3}) + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $2 (- \frac{2 y}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{16}{3} - 2 \frac{2 y}{3} + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 y}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 2 (2 y)}{3} + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 y}{3} + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 y}{3} + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{16}{3} - \frac{4 y}{3} + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{16}{3} - \frac{4 y}{3} + 3 y = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{4 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $3 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{4 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 y + 3 y \cdot 3}{3} = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 - 4 y + 3 y \cdot 3}{3} = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{16 - 4 y + 9 y}{3} = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $- 4 y$ und $9 y$ .

$\frac{16 + 5 y}{3} = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{16 + 5 y}{3} = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{16 + 5 y}{3} = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$\frac{16 + 5 y}{3} = 7$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $\frac{16 + 5 y}{3} = 7$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{16 + 5 y}{3} \cdot 3 = 7 \cdot 3$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{16 + 5 y}{3} \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 + 5 y}{3} \cdot 3 = 7 \cdot 3$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$16 + 5 y = 7 \cdot 3$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$16 + 5 y = 7 \cdot 3$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle $16$ und $5 y$ um.

$5 y + 16 = 7 \cdot 3$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$5 y + 16 = 7 \cdot 3$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$5 y + 16 = 7 \cdot 3$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$5 y + 16 = 21$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$5 y + 16 = 21$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$5 y + 16 = 21$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = 21 - 16$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $16$ von $21$ .

$5 y = 5$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$5 y = 5$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 5$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 5$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{5}{5}$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{5}{5}$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5}{5}$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{5}{5}$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{5}{5}$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere $5$ durch $5$ .

$y = 1$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = 1$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = 1$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = 1$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = 1$

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $1$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{8}{3} - \frac{2 y}{3}$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{3} - \frac{2 (1)}{3}$

$y = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{8}{3} - \frac{2 (1)}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{8 - 2 \cdot 1}{3}$

$y = 1$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 - 2}{3}$

$y = 1$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$x = \frac{6}{3}$

$y = 1$

Schritt 4.2.1.2.3

Dividiere $6$ durch $3$ .

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 1)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(2, 1)$

Gleichungsform:

$x = 2, y = 1$

Schritt 7